Fórmula de Da Vinci explica o porquê da forma das árvores

À esquerda, variáveis do modelo matemático. À direita, modelo fractal de uma árvore. Crédito: C. Eloy et al., Phys. Rev. Letters (2011).

A graciosa divisão do tronco de uma árvore em ramos, galhos e gravetos é tão familiar que poucas percebem o que Leonardo da Vinci observou: uma árvore quase sempre cresce de modo que a espessura dos ramos em uma determinada altura seja igual à espessura do tronco. Embora a regra seja válida para quase todas as espécies de árvores e seja usada desde então por artistas para desenhar árvores mais realistas, até agora ninguém havia sido capaz de explicar o porquê das árvores obedecem essa regra.

A regra de da Vinci diz que quando um tronco de árvore se divide em dois ramos, a seção transversal total dos ramos secundários será igual a seção transversal do tronco. Se cada um desses dois ramos se dividir em dois, a área das seções transversais dos quatro ramos será igual à área da seção transversal do tronco. E assim sucessivamente.

A hipótese dos botânicos era de que a observação de Leonardo estava relacionada com a forma com que as árvores bombeiam a água das raízes para as folhas. A ideia era que isso acontecia para que a árvore distribuísse a água de maneira uniforme até as folhas.

Chistophe Eloy, físico visitante das Universidades da Califórnia (San Diego, EUA) e de Florença (França), especialista em mecânica dos fluidos, concorda que a equação está relacionada com as folhas das árvores, não com a forma de distribuição de água, mas com a força do vento contra as folhas.

Eloy fez seus cálculos modelando árvores como uma série de feixes sustentados uns nos outros formando uma rede fractal. Cada feixe se sustenta ancorado em uma de suas extremidades e solto na outra. Um fractal é uma forma que se ramifica em porções menores que são parecidas com a estrutura como um todo. A maioria das árvores naturais crescem de maneira parecida com a fractal.

Eloy modelou a força do vento soprando sobre as folhas da árvore como uma força pressionando sobre a extremidade não ancorada dos feixes. Quando ele inseriu a equação da força do vento em seu modelo e assumiu que a probabilidade de um ramo se quebrar devido ao esforço do vento é constante, chegou à regra de Leonardo. Em seguida, resolveu testar a regra com uma simulação numérica por computador da força do vento sobre os galhos, calculando qual a espessura que os ramos deveriam ter para resistir a quebra. A simulação numérica previu acuradamente os diâmetros dos ramos, como descreve em um artigo aceito para publicação na revista Physical Review Letters.

"Este estudo coloca as árvores no mesmo patamar que as estruturas feitas pelo homem que foram planejadas levando em conta as consideração sobre o vento de carregamento, sendo a torre Eiffel talvez o exemplo mais conhecido", diz Pedro Reis, engenheiro do Massachusetts Institute of Technology, em Cambridge.

Fonte: Biblioteca de Ciências Mário Schenberg

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